Primzahl (v. lat. primum "das Erste"), eine Natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat. Was bedeutet, dass sie größer als 1 sein muss und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.

Die Primzahlen konstruieren zusammen mit der 1 sämtliche ►Natürlichen Zahlen, denn jede lässt sich auf eindeutige Weise durch Multiplikation von Primzahlen bilden. Der griechische Mathematiker ►Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Andernfalls ließe sich nämlich eine Zahl N aus dem Produkt aller existierenden Primzahlen plus 1 bilden. Diese Zahl ist aber wieder eine Primzahl, denn bei Teilung durch jede Primzahl bleibt stets der Rest 1. Also kann die Anzahl der Primzahlen nicht endlich sein.

Primzahlen scheinen primitiv. Dennoch ist ihre Verteilung auf dem ►Zahlenstrahl ein großes Rätsel der Mathematik. Sie scheint irgendwelchen Regeln zu folgen, deren genaue Natur Mathematiker jedoch bisher noch nicht herausgefunden haben. Falls Sie selbst in dieser Richtung forschen wollen, finden Sie hier die Verteilung der Primzahlen unter den ersten 150 Zahlen:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

Außer in der ersten Reihe müssen Primzahlen stets mit 1, 3, 7 oder 9 enden, sonst wären sie durch 2 oder 5 teilbar. Wenn man sich das Muster einzelner Spalten anschaut, scheinen Regelmäßigkeiten sichtbar zu werden, nur um irgendwann wieder zu verschwinden. Man kann beweisen, dass die Primzahlen hin zu größeren Zahlen immer dünner gesät sind. In der Verteilung fällt auf, dass viele Primzahlen paarweise auftreten, in einem Abstand von 2 (etwa 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31.). Diese Primzahl-Zwillinge gibt es sogar bei sehr großen Primzahlen. Allerdings hat noch niemand bisher (2007) herausgefunden, ob unendlich viele Primzahl-Zwillinge existieren. Ebenfalls unbewiesen seit über 400 Jahren ist die Goldbachsche Vermutung, dass jede gerade Zahl stets die Summe zweier Primzahlen (inbegriffen der 1) ist. Man hat bisher kein einziges Gegenbeispiel gefunden, doch der Beweis für sämtliche geraden Zahlen steht noch aus.

Es gibt keine mathematische Formel zur Berechnung der nächstgrößeren Primzahl aus einer gegebenen Zahl. Dies macht das Auffinden von Primzahlen schwierig. Es ist mehr oder weniger eine Sache des gezielten Ausprobierens und erfordert ausgeklügelte Computerprogramme. Der augenblickliche (2007) Rekord steht bei

232582657-1

Das ist eine Primzahl mit 9808358 Stellen, entdeckt im Dezember 2006 von Curtis Cooper und Steven Boone von der Central Missouri State University in Warrenburg. Das Suchen von Primzahlen ist übrigens beileibe keine brotlose Kunst. Man braucht sie für Kryptographieverfahren. Für die erste Primzahl mit mehr als 10 Millionen Stellen hat die ►Electronic Frontier Foundation in San Francisco ein Preisgeld von 100.000 US-$ ausgeschrieben.


Weblinks zum Thema

■ Largest Known Primes
■ Liste der ersten 10000 Primzahlen

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