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Praktisch alle Naturvölker kannten Zahlen, jedoch anfangs nur zur Bezeichnung einer Größe oder Menge von Objekten: zwei Äpfel, drei Birnen. Die Zahlen 'zwei' und 'drei' von den Äpfeln und Birnen zu trennen und als eigenständige Objekte zu behandeln, erforderte Abstraktion und setzte Zeit, Muße und eine gewisse Distanz von den alltäglichen Dingen voraus. Vermutlich waren hauptberufliche Priester oder Magier die ersten, die Zahlen als solche verwendeten.

Von den Zahlen gab es zunächst nur eine begrenzte Anzahl: Eins, zwei, drei, unendlich. Mehr Zahlen kamen im Lauf der Zeit hinzu, 'unendlich' blieb die größte Zahl. Erst bei den Griechen, die immerhin bereits bis 100.000.000 zählen konnten, verlor 'unendlich' seine Zahleigenschaft und wurde zum Begriff. Auch in der heutigen Mathematik ist 'unendlich' keine Zahl - und zwar auch nicht das Ergebnis einer Division durch Null - sondern die Eigenschaft einer Menge.

Sehr kleine und sehr große Zahlen ließen sich schlecht schreiben, bevor man die Zahlensysteme erfand. Um Papier zu sparen und aus Gründen der Übersichtlichkeit benutzt man dafür heute Zehnerpotenzen: z.B. 10¹² (ausgesprochen "zehn hoch zwölf") entspricht 1000000000000, also einer 1 mit 12 Nullen. 10^-9 entspricht 0,000000001. Manche Zahlen sind dermaßen groß, dass sie sich nicht einmal mit Zehnerpotenzen vernünftig darstellen lassen. Diese schreibt man mit doppelten Zehnerpotenzen; wir sind unter Parallelwelt der Zahl 10 hoch 10⁸⁰ begegnet, also einer 1 mit 10⁸⁰ Nullen*. Um große Beträge besser aussprechen zu können, verwendet man griechische Vorsilben oder Zahlwörter. Verwirrung, etwa beim Lesen von Internet-Texten, stiftet oft der Umstand, dass Zahlwörter wie so vieles andere in den USA deutlich größer sind als im Rest der Welt:

Zahl	Zahlwort	Amerikanisch	Vorsilbe	Beispiel
10³	Tausend		Kilo (k)	1 kg = 1000 g
10⁶	Million		Mega (M)	1 Megawatt = 1 Million Watt
10⁹	Milliarde	Billion	Giga (G)	1 Gigahertz = 10⁹ Hertz
10¹²	Billion	Trillion	Tera (T)	1 Teraflops = 10¹² Flops**
10¹⁵	Billiarde	Quadrillion	Peta (P)
10¹⁸	Trillion	Quintillion	Exa (E)

Noch gigantischere Vorsilben - etwa Zetta (Z) = 10²¹ oder Yotta (Y) = 10²⁴ - sind ungebräuchlich und werden fast nur von Zahlenfanatikern in Online-Lexika benutzt.

Abgesehen von ihrer zuweilen enormen Größe scheinen Zahlen auf den ersten Blick einfache Gebilde zu sein. Ihre teilweise komplexen und verblüffenden Eigenschaften hat man erst nach und nach entdeckt. Auch in der heutigen Mathematik kennt man beileibe noch nicht alle Eigenschaften der Zahlen. Bei Betrachtung von Zahlen fällt zunächst auf, dass man sie in verschiedene Arten einteilen kann:

Natürliche Zahlen sind alle positiven Zahlen ohne Nachkommastellen, also 1, 2, 3, 4, . Es gibt abzählbar unendlich viele Natürliche Zahlen.

Ganze Zahlen sind alle Zahlen ohne Nachkommastellen, also .-2, -1, 0, 1, 2, 3. Auch die Menge der Ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Rationale Zahlen (v. lat. ratio "Berechnung") sind alle Brüche, also die Ergebnisse einer Division wie 1/1, 1/2, 2/3, 1/4 usw. Dies sind Zahlen mit entweder einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen (z.B. 1/4 = 0,25) oder einer periodischen, d.h. sich unendlich wiederholenden endlichen Folge von Nachkommastellen (z.B. 1/11 = 0,09090909.)***. Die Rationalen Zahlen sind ebenfalls abzählbar unendlich.

Irrationale Zahlen sind alle restlichen Zahlen. Also Zahlen, die keine Brüche sind und demzufolge eine sich nicht wiederholende unendliche Folge von Nachkommastellen haben. Beispiele sind die Quadratwurzel aus 2 (1,41421356.)† oder die Kreiszahl Pi (3,1415926.). Rationale und Irrationale Zahlen zusammen bilden die Menge der Reellen Zahlen, auch Kontinuum genannt. Das Kontinuum ist nicht mehr abzählbar. Es gibt also viel, viel mehr Irrationale als Rationale Zahlen.

Transzendente Zahlen (v. lat. transcedere "überschreiten") sind solche Irrationalen Zahlen, die nicht als Lösung einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten†† dargestellt werden können. Zahlen, die eine solche Gleichung erfüllen, heißen Algebraische Zahlen. Die Quadratwurzel aus 2 ist beispielsweise eine Algebraische Zahl, da sie die Gleichung x² - 2 = 0 erfüllt. Die Kreiszahl Pi dagegen ist transzendent, da sie durch keine endliche Gleichung berechnet werden kann.

Dekadische Zahlen sind 'umgedrehte' Irrationale Zahlen. Sie haben unendlich viele Stellen vor dem Komma, aber nur endlich viele danach. Im Gegensatz zu den Rellen Zahlen, den Arbeitspferden der Mathematik, stellen Dekadische Zahlen wegen ihrer seltsamen Eigenschaften eher eine Kuriosität dar. Beispielsweise läßt sich nicht sagen, ob eine bestimmte Dekadische Zahl größer ist als eine andere†††. Die Menge der Dekadischen Zahlen ist somit keine geordnete Menge.

Komplexe Zahlen sind Lösungen von Gleichungen mit negativen Wurzeln. Das einfachste Beispiel ist die Wurzel aus -1, die im Bereich der Reellen Zahlen nicht definiert ist. Komplexe Zahlen werden in der Form a + b·i dargestellt, wobei a und b zwei Reelle Zahlen und i die Wurzel aus -1 ist. Zahlen der Form b·i werden auch als Imaginäre Zahlen bezeichnet. Imaginäre und Komplexe Zahlen werden oft in den Natur- und Ingenieurwissenschaften z.B. zur Darstellung von Wellenfunktionen benutzt.

Zusätzlich zu diesen normalen Zahlen gibt es exotische Zahlenarten, die sich gar nicht mehr mit Ziffern darstellen lassen:

Transfinite Zahlen sind Zahlen, die größer sind als jede endliche Zahl. Transfinit sind unendliche Kardinalzahlen א und Ordinalzahlen ω. Transfinite Zahlen sind keine Objekte der klassischen Mathematik und folgen speziellen Rechenregeln.

Infinitesimalzahlen sind Zahlen, die kleiner sind, d.h. näher bei Null liegen als jede endliche Zahl. Wie die Transfiniten sind auch die Infinitesimalen Zahlen keine Objekte der klassischen Mathematik, doch im Gegensatz zu jenen wird von ihnen seit dem 17. Jahrhundert in der Infinitesimalrechnung häufiger und praktischer Gebrauch gemacht.

Surreale Zahlen sind eine spezielle Klasse†††† von Zahlen, die alles umfassen - Reelle, Transfinite Ordinal- und Kardinalzahlen und Infinitesimale Zahlen. Sie wurden von dem Mathematiker John Conway 1974 definiert. Jede Reelle Zahl ist dabei auf dem surrealen Zahlenstrahl von Infinitesimalen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl. Mit Surrealen Zahlen kann man die wildesten mathematischen Operationen durchführen, z.B.

und erhält jedes Mal sinnvolle Ergebnisse.

Hyperreelle Zahlen sind eine ähnliche Zahlenklasse wie die surrealen Zahlen und enthalten ebenfalls Infinitesimale und Transfinite Zahlen. Allerdings wurden sie auf eine andere, formalere Weise von Abraham Robinson in den 1960ern konstruiert und bilden die Basis der Nichtstandardanalysis. Mit den Hyperreellen Zahlen lässt sich die Infinitesimalrechnung ganz ohne Grenzwertbetrachtungen formulieren.

Die Zahlenarten sind auf verschiedene Art 'unendlich'. Die Ganzen Zahlen können unendlich groß werden. Die Rationalen Zahlen können nicht nur unendlich groß werden, man kann sie auch zusätzlich noch unendlich fein unterteilen. Die Reellen Zahlen können unendlich groß werden, sind unendlich fein unterteilbar und können obendrein unendlich viele Nachkommastellen haben. Und die Transfiniten, Infinitesimalen, Surrealen und Hyperreellen Zahlen schließlich können nicht nur als Grenzwert unendlich groß oder klein werden, sie sind es bereits. Während die anderen Zahlen nur potentielle Unendlichkeit besitzen, sind diese Zahlen aktual unendlich.

Ganze, Rationale und Algebraische Zahlen sind abzählbar, Reelle nicht. Schuld daran sind die Transzendenten Zahlen. Obwohl wir in der Praxis nur eine Handvoll Transzendente Zahlen kennen, darunter die Kreiszahl Pi und die Eulersche Zahl e, stellen diese die überwältigende Mehrheit aller Zahlen.

Zum Abschluss des Zahlen-Exkurses einige Beispiele für kleine, große oder sonstwie bemerkenswerte Zahlen:

0	Die Zahl Null, erfunden von indischen Mathematikern etwa um 900 v. Chr.
1	Hieraus lassen sich alle Rationalen Zahlen konstruieren: 1+1, 1+1+1, (1+1)/(1+1+1), etc.
1,6180339887...	Goldener Schnitt, eine Algebraische Zahl.
3,141592654.	Kreiszahl Pi, eine Transzendente Zahl.
42	Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest.
299792458	Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in Metern pro Sekunde.
43252003274489856000	Anzahl der möglichen Anordnungen von Rubik's Cube.
6670903752021072936960	Anzahl aller lösbaren Sudoku.
6,022045 · 10²³	Anzahl der Atome in zwölf Gramm Kohlenstoff.
10²⁷	Anzahl der Sandkörner in der Sahara.
10⁶³	Anzahl der Sandkörner, die das Universum füllen (Sandzahl des Archimedes).
Fantastilliarde	Vermögen von Dagobert Duck.
Googol (10¹⁰⁰)	Größte aussprechbare Zahl des Westens (gab der Suchmaschine Google ihren Namen).
Asamkhyeya (10¹⁴⁰)	Größte aussprechbare Zahl des Ostens (v. Sanskrit für "unzählbar").
2⁶⁵⁵³⁶- 3	Wert der Ackermann-Funktion a(4,2).
2^25964951- 1	Größte Anfang 2005 bekannte Primzahl.
10 hoch 10⁸⁰	Durchschnittlicher Abstand zur nächsten Parallelwelt in beliebigen Längeneinheiten.
Googolplex	10^Googol
10 hoch 10 hoch 10³⁴	Skewes Zahl, die größte je in einem mathematischen Beweis (1933) verwendete endliche Zahl.
ω	Omega, die kleinste Zahl, die größer ist als jede endliche Zahl.
₀א	Alef-Null, die Anzahl der Natürlichen Zahlen.

* Würden wir diese Zahl in einem Buch drucken, würde das Buch auch bei winziger Schrift auf dünnem Papier 10⁷⁰ Tonnen wiegen, weit mehr als der beobachtbare Teil des Universums. Da es unter dem Eigengewicht sofort kollabiert, löst die dabei freiwerdende Energie eine Kernfusionsreaktion (¹²C+¹²C => ²⁴Mg) aus. Die äußere Buchhülle erhitzt sich auf ca. 600 Millionen Grad Celsius, explodiert und bildet neue Galaxien. Der weiter kontrahierende Buchkern unterschreitet nach wenigen Millionen Jahren den Schwarzschildradius und wird zu einem gigantischen Schwarzen Loch, welches die Milchstraße und alle nahen Galaxien verschlingt. Doppelte Zehnerpotenzen haben also nicht zu unterschätzende Vorteile.

** Flops ist eine Einheit der Leistungsfähigkeit von Rechenmaschinen (Floating Point Operations per Second).

*** Hier der Beweis. Eine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen (wie 0,123) ist offensichtlich rational, da sie sich einfach als Bruch darstellen lässt (123/1000). Eine Zahl mit sich unendlich wiederholenden Nachkommastellen, etwa z = 0,123123123., ist ebenfalls ein Bruch, denn 999∙z = 1000∙z - z = 123,123123123. - 0,1231231213. = 123 und folglich z = 123/999.

† Hier der Beweis, dass irrational ist. Angenommen, ließe sich als Bruch n/m darstellen. Mindestens eine der Zahlen m oder n muss ungerade sein, sonst ließe sich der Bruch weiter kürzen. Quadrieren ergibt 2 = n²/m² und somit n² = 2m². Da 2m² eine gerade Zahl ist, muss auch n² und damit auch ngerade sein. Denn wäre n ungerade, ließe sich n als 2k+1 schreiben; (2k+1)² ist aber 4k²+2k+1 und somit immer ungerade. Daher ist n = 2k und n² = 4k² = 2m², also 2k² = m², somit muss auch m gerade sein. Das ist ein Widerspruch. Also lässt sich nicht als Bruch n/m darstellen.

†† Eine Gleichung der Form a₀ + a₁x + a₂x² + . +a_nxⁿ = 0, wobei n endlich ist und alle a ganze Zahlen sind.

††† Addieren wir etwa die beiden periodischen dekadischen Zahlen ...444444 und ...555556 nach den gewohnten Additionsregeln, so erhalten wir 0. ...555556 ist also keineswegs größer, sondern vielmehr das Negative zu ...444444.

†††† Eine Klasse ist eine geordnete Menge von Elementen, wie z.B. Zahlen, zusammen mit Rechenoperationen wie +, -, ∙, /, die auf die Elemente angewendet werden können.